Dátová Dana
5. augusta 2026
Kto sa zaoberá finančnými trhmi a investíciami, pozná dobre pravidlo: vyššie riziko, vyšší výnos. Kto chce zarobiť viac, musí zniesť väčšie výkyvy. Model, ktorý toto pravidlo zjednodušuje do jedného čísla, sa volá CAPM a jeho autori zaň dostali Nobelovu cenu — riziko akcie sa v ňom meria parametrom beta a odmenou zaň má byť vyšší výnos. Túto analýzu som nerobila sama, ale so spolužiakmi ako projekt z ekonometrie. Mojou úlohou bolo pripraviť dáta, spočítať výnosy a odhadnúť parameter beta. Keď som pravidlo overila na piatich rokoch reálnych dát, vzťah medzi rizikom a výnosom smeroval presne opačným smerom — najrizikovejšie akcie zarobili najmenej.
Použila som verejný dataset denných cien 505 akcií indexu S&P 500 za obdobie február 2013 – február 2018, dostupný na Kaggle. Denné ceny som premenila na mesačné výnosy (logaritmické, z ceny na konci každého mesiaca), takže na každý titul pripadá zhruba 60 mesačných pozorovaní — spolu 476 titulov (29 titulov s neúplnou históriou bolo vyradených). „Trh” bol zostavený ako vážený priemer výnosov všetkých titulov.
Poctivo aj to, čo v dátach nie je. Dataset neobsahuje bezrizikovú úrokovú sadzbu, preto som ju položila na nulu — v prostredí nízkych sadzieb po roku 2008 je to prijateľné zjednodušenie, ale je to zjednodušenie. Päťročné okno bolo prevažne rastúcim trhom (40 mesiacov trh rástol, len 20 klesal), takže o správaní akcií v poklese hovoria dáta oveľa tichšie než o raste. A „trh” tu nie je oficiálny index vážený veľkosťou firiem, ale môj rovnako vážený zástupca. Každý z týchto predpokladov trochu pohne výsledkami — na smer príbehu však, ako uvidíme, nemajú vplyv.
Beta: jedno číslo pre citlivosť na trh. Pre každú akciu som regresiou odhadla betu — o koľko sa v priemere pohne akcia, keď sa trh pohne o percento. Beta okolo 1 znamená „hýbe sa ako trh”, pod 1 „pokojnejšie než trh” (defenzívne tituly), nad 1 „divokejšie než trh” (agresívne). Bety vyšli v rozpätí od takmer nuly (0,01) po 2,66 a rozdelili súbor takmer presne na polovice: 238 defenzívnych a 238 agresívnych titulov.
g1 <- ggplot(betas, aes(beta, fill = typ)) +
geom_histogram(bins = 40, colour = "white", alpha = 0.85) +
geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed", colour = "grey40") +
scale_fill_manual(values = c("Defenzívny (β<1)" = "#7ba7c9",
"Agresívny (β>1)" = "#e8998d")) +
labs(x = "beta (citlivosť na pohyb trhu)", y = "počet akcií", fill = NULL) +
theme_minimal()
ggplotly(g1) |> layout(font = list(family = "sans-serif"))Priamka, ktorá klesá. Podľa CAPM by mala platiť jednoduchá vec: čím vyššia beta, tým vyšší nadvýnos. Zoradila som akcie podľa bety do desiatich rovnakých košov (decilov) a pre každý spočítala priemernú betu a priemerný nadvýnos. Keby model platil, body by stúpali zľava doprava. Namiesto toho klesajú — najpokojnejšie decily majú kladný nadvýnos okolo 0,2–0,4 % mesačne, kým najagresívnejší desiaty decil (priemerná beta 1,8) stráca takmer 0,8 % mesačne. Sklon priamky je záporný a štatisticky významný. Vo financiách má tento jav meno: Low-Beta anomália — pokojné akcie zarábajú viac, než by „mali”, a rizikové menej.
g2 <- ggplot(sml, aes(Mean_Beta, Mean_Alpha)) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", colour = "grey50") +
geom_smooth(method = "lm", se = TRUE,
colour = "firebrick", fill = "firebrick", alpha = 0.12) +
geom_point(size = 7, colour = "darkblue") +
geom_text(aes(label = portfolio), colour = "white", fontface = "bold", size = 3) +
scale_y_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.1)) +
labs(x = "priemerná beta decilu (riziko)",
y = "priemerný mesačný nadvýnos decilu") +
theme_minimal()
ggplotly(g2, tooltip = c("x", "y")) |> layout(font = list(family = "sans-serif"))Nešlo o jeden zlý rok. Prvá obrana takéhoto výsledku znie: možno len jedno turbulentné obdobie pokrivilo celý obraz. Preto som vzorku rozdelila na dve časové polovice — prvé tri roky (02.2013–02.2016) a posledné dva (03.2016–02.2018) — a v každej som bety aj priamku odhadla nanovo. Priamka klesá v oboch obdobiach rovnako: najagresívnejší decil končí hlboko v mínuse v prvej aj v druhej polovici. Anomália teda nie je náhoda jedného momentu, ale stabilná vlastnosť celého sledovaného obdobia.
obd <- obd |>
mutate(obdobie = factor(obdobie,
levels = c("1. polovica (02.2013–02.2016)", "2. polovica (03.2016–02.2018)")))
g3 <- ggplot(obd, aes(Mean_Beta, Mean_Alpha)) +
geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", colour = "grey50") +
geom_smooth(method = "lm", se = TRUE,
colour = "firebrick", fill = "salmon", alpha = 0.15) +
geom_point(size = 6, colour = "darkblue") +
geom_text(aes(label = portfolio), colour = "white", fontface = "bold", size = 3) +
facet_wrap(~ obdobie, scales = "free") +
scale_y_continuous(labels = scales::percent_format(accuracy = 0.1)) +
labs(x = "priemerná beta decilu", y = "priemerný nadvýnos decilu") +
theme_minimal()
ggplotly(g3, tooltip = c("x", "y")) |> layout(font = list(family = "sans-serif"))Slepé uličky a poctivé „ale”. Tituly sme testovali aj samostatne. Konštanta v modeli (tzv. Jensenova alfa) mala byť podľa CAPM nulová a pri 441 z 476 titulov (93 %) skutočne nulová bola; len 35 akcií, prevažne technologických ťahúňov, prekonávalo trh systematicky. Otestovala som aj to, či sa beta v čase láme (Chowov test): pri drvivej väčšine titulov je beta stabilná, zlom sa preukázal len u 36 akcií (necelých 8 %). Parametre beta sú teda zmyslupné a stabilné, ale hlavné tvrdenie vyššie riziko prináša vyšší prínos tu na tomto trhu a zvolenom období zlyháva.
Na tomto príbehu nie je cenný samotný CAPM, ale spôsob uvažovania.
Prevzaté pomery neplatia všade a navždy. „Vyššie riziko, vyšší výnos” je vlastne benchmark — pravidlo prevzaté z učebnice. Podobne to môže byť s číslami ako „marža v našom obore býva 30 %“, „bežná konverzia e-shopu sú 2 %” alebo „jeden získaný zákazník stojí toľko”. Sú to užitočné orientačné body, ale platia aj na konkrétnych firemných dátach? Kým si vzťah neodhadnete na vlastných dátach, neviete, či pre vás platí, alebo pracujete s cudzou legendou.
Vzťahy sa menia v čase — treba to overiť, nie predpokladať. Druhá lekcia je, že jedno číslo nemusí platiť rovnako stále. Tu sa dá použiť postup, že rozdelíte celé obdobie na dve Chowovým testom hľadáte moment, či sa kľúčový parameter láme. V tejto analýze vyšla anomália stabilná. Vo firme môže byť otázka, či je konverzný pomer stabilný. Konverzia cez Vianoce nie je konverzia v lete, marža pri veľkoodbere nie je marža v malom, vzťah medzi zľavou a objemom predaja z minulého roka nemusí platiť tento rok. Oplatí sa pýtať nielen „aké je to číslo”, ale aj „platí stále cca rovnaké, alebo sa niekedy skokovo zmenilo”.
A ešte jedno: to, že model niekde zlyhá, neznamená, že je na vyhodenie. CAPM správne odhadol bety aj ich stabilitu; „pomýlil sa” len v jednom tvrdení — a práve toto jedno odhalené zlyhanie je užitočnejšie než slepá dôvera. Rovnako aj firemný model či pravidlo má cenu vtedy, keď viete, kde presne prestáva platiť.
Celá analýza — odhad parametrov beta a charakteristických kriviek, test Jensenovej alfy, security market line a Waldov test, Fama–MacBethova špecifikácia, Chowove testy štrukturálneho zlomu aj dual-beta model asymetrie — napísaná v R (tidyverse) a s podrobným reportom je na GitHube: danakozakova/econometrics — 01-capm-analysis.
Dáta sú verejný dataset S&P 500 stock data (denné ceny 505 titulov, 2013–2018) z Kaggle. Bezriziková sadzba je predpokladaná nulová a trhový index je zostavený ako rovnako vážený priemer mesačných výnosov všetkých titulov. Grafy na tejto stránke počítajú z odvodených súhrnov (bety a decilové priemery), nie z celého cenového súboru.